一个立方等于多少平方米(一立方石头等于多少吨)-9游会

儿童节刚刚过去。这一期，我们来聊聊童年记忆中的魔方。

或许这是一个略显愚蠢的问题:为什么一个好的魔方总能恢复原状？其实这是一个简单而深刻的问题。

答:魔方的每个状态都是从初始状态通过一系列有限的运算得到的，包括(顺时针旋转上层四分之一圈)，(顺时针旋转前层四分之一圈)，(顺时针旋转右层四分之一圈)…那我们只需要“原路返回”，就可以回到起点了？

u|f|rd|b|l

例如我们对魔方进行操作：，那么我们只需要再进行如下操作即可：u|f|r例如，如果我们操作魔方:，那么我们只需要做以下事情:

相反的操作，即前层逆时针旋转四分之一圈，对于其他符号也是一样的。然而，根据魔方术语，它通常用小写字母表示，即。

群论中称之为“逆”，是因为它们组合的结果是“单位元”，即魔方会回到初始状态:

群的复合运算满足“结合律”，因此很容易证明上述等式成立:

如果一个代数系统满足三个性质，则称它为群:

可见魔方确实是真正的“有限群”！

为什么有限？因为是“置换群”的“子群”，所以置换群是有限群，它的子群是由它的元素的子集组成的更小的群，所以它的子群也一定是有限群。

所谓置换群，就魔方而言，是指魔方的所有状态形成一个有限集。从一个状态到另一个状态的转换是这个组的元素。一个魔方有6个面，每个面分成9个小块，所以有54个小块。这些小方块的颜色共同构成了魔方的当前状态。如果这54块可以任意互换，那么形成的组记为。但是，由于其特殊的内部结构，魔方不可能是随机的。真实情况是一个子群，我们称之为魔方群。

这组状态的实际数目已经由数学家给出。这是一个巨大的数字:

大约是目前地球人口的平方。

有限，但是太大了。所以回答有没有魔方还原策略还远远不够。我们更关心的是魔方能否快速还原。或者我们更进一步:还原一个魔方需要几个步骤？

答:20步！

这个结果叫做神数。类似于平面图四色定理的证明(给没有飞地的地图着色使邻国颜色不同，只用四种颜色就够了)，也是用计算机暴力证明的。

这么多，这么少！

这是什么意思？说明魔方的状态是高度相关的，所有的状态都被压缩在一个直径为20的高维球体中。

通常魔方示意图都附有说明书，说明书中介绍了还原魔方的公式。在应用这些公式时，我们似乎不需要关注每一个面片的状态，往往会“糊里糊涂”地还原魔方，知其然而不知其所以然。而且还原步骤的数量往往超过20步，也就是说这些公式有一些“弯路”。

我们如何理解魔方的归约公式？

我们可以用图论来表示魔方组:每个状态记录为一个节点。如果有一个变换，可以从这个状态得到另一个状态，那么这两个节点一定是通过一条边连接起来的，这样我们就得到一个关于魔方状态的网络。在这个网络中，新手寻找最佳路线是不切实际的，归约公式帮助我们进入一个特定的轨迹。这条赛道就像一个时钟表盘，赛道上的每个状态就像表盘上的刻度。魔方的初始状态是这个表盘上的12点，只要我们按照顺时针(逆时针)方向走，就一定会通过我们的目标。

示意图:红点是魔方的初始状态，类似于魔方组中的表盘结构的子组。我们称之为“循环群”，它是一个有限循环群。

魔方还原公式本身的结构也很耐人寻味，比如

在群论中，我们称之为“共轭”。在还原魔方的时候，我们经常会遇到这样的困境:我们想制作和交换，但是两者直接交换会有影响，但是我们又不想做改动…这个时候，我们就要利用和消除影响。类似于共轭原理，我们也会用“换向器”，看起来像。我们在定义群的时候，只提到了结合律，没有提到交换律。这是因为存在大量的非交换群，比如矩阵群。群中没有交换子这种东西，因为

在某种意义上，交换子群(由交换子生成的群)提供了群的交换性。群中可交换的元素越多，交换子就越少，交换子群就越小。

魔方详情请参考群论via魔方(链接:http://geometer . org/rubik/group . pdf)。另外提供了一个在线魔方程序(链接:https://iamthecu.be)，非常漂亮有趣。

下面是我写的2阶魔方的平面展开图，结果会通过给定的运算自动计算出来。

代码描述:

####2阶魔方#矩阵中心对称o <- function(a){ t = a[1,1] a[1,1] = a[2,2] a[2,2] = t t = a[1,2] a[1,2] = a[2,1] a[2,1] = t a}#矩阵元素逆时针旋转r <- function(a){ t = a[1,1] a[1,1] = a[1,2] a[1,2] = a[2,2] a[2,2] = a[2,1] a[2,1] = t a}#矩阵元素顺时针旋转v <- function(a){ t = a[1,1] a[1,1] = a[2,1] a[2,1] = a[2,2] a[2,2] = a[1,2] a[1,2] = t a}#魔方的六个面a = matrix(rep(1,4),2)b = matrix(rep(2,4),2)c = matrix(rep(3,4),2)a = matrix(rep(4,4),2)b = matrix(rep(5,4),2)c = matrix(rep(6,4),2)#a为俯视图，b为正视图，c为右侧视图，x=a,b,c;结果为矩阵形式，方便绘图。xup <- function(a,a,b,b,c,c){ aup = matrix(rep(0,48),6) aup[3:4,5:6] = a aup[3:4,1:2] = a aup[1:2,5:6] = b aup[5:6,5:6] = b aup[3:4,3:4] = c aup[3:4,7:8] = c aup}cube = list(a,a,b,b,c,c)cube[[7]] = xup(a,a,b,b,c,c)#b朝上的十字架展开图（a –> b），输入输出皆为列表 abup <- function(aup) { bup = list() bup[[1]] = aup[[1]] bup[[2]] = o(aup[[2]]) bup[[3]] = aup[[3]] bup[[4]] = o(aup[[4]]) bup[[5]] = v(aup[[5]]) bup[[6]] = r(aup[[6]]) bup[[7]] = xup(bup[[3]],bup[[4]],bup[[2]], bup[[1]],bup[[5]],bup[[6]]) bup}#（b –> a）baup <- function(bup) { aup = list() aup[[1]] = bup[[1]] aup[[2]] = o(bup[[2]]) aup[[3]] = bup[[3]] aup[[4]] = o(bup[[4]]) aup[[5]] = r(bup[[5]]) aup[[6]] = v(bup[[6]]) aup[[7]] = xup(aup[[1]],aup[[2]],aup[[3]], aup[[4]],aup[[5]],aup[[6]]) aup}#c朝上的十字架展开图（a –> c）acup <- function(aup) { cup = list() cup[[1]] = aup[[1]] cup[[2]] = aup[[2]] cup[[3]] = r(aup[[3]]) cup[[4]] = v(aup[[4]]) cup[[5]] = aup[[5]] cup[[6]] = aup[[6]] cup[[7]] = xup(cup[[5]],cup[[6]],cup[[3]], cup[[4]],cup[[2]],cup[[1]]) cup}#（c –> a）caup <- function(cup) { aup = list() aup[[1]] = cup[[1]] aup[[2]] = cup[[2]] aup[[3]] = v(cup[[3]]) aup[[4]] = r(cup[[4]]) aup[[5]] = cup[[5]] aup[[6]] = cup[[6]] aup[[7]] = xup(aup[[1]],aup[[2]],aup[[3]], aup[[4]],aup[[5]],aup[[6]]) aup}#画出魔方展开图color = c(“white”,”red”,”orange”,”yellow”,”green”,”blue”,”purple”)par(mai=rep(0,4),oma=rep(0,4))plot(0,0, type = “n”, xlim = c(0,7), ylim = c(0,9))draw <- function(cube) #输入矩阵{for(i in 1:6)for(j in 1:8)points(i, j, pch = 15, cex = 4, col = color[cube[i,j] 1])}draw(xup(a,a,b,b,c,c)) #魔方初始状态##三大变换#对a（红色面）逆时针旋转90度；此时list应该是a面为俯视面的形式u <- function(list){ unfold = xup(list[[1]],list[[2]],list[[3]], list[[4]],list[[5]],list[[6]]) a = matrix(rep(0,48),6)for(i in 2:5)for(j in 4:7) a[9-j,2 i] = unfold[i,j] #坐标旋转由复数推导 unfold[2:5,4:7] = a[2:5,4:7] a = unfold[3:4,5:6] a = unfold[3:4,1:2] b = unfold[1:2,5:6] b = unfold[5:6,5:6] c = unfold[3:4,3:4] c = unfold[3:4,7:8] list = list(a,a,b,b,c,c,unfold) list }#u的逆变换，此时list应该是a面为俯视面的形式v <- function(list){ unfold = xup(list[[1]],list[[2]],list[[3]], list[[4]],list[[5]],list[[6]]) a = matrix(rep(0,48),6)for(i in 2:5)for(j in 4:7) a[j-2,9-i] = unfold[i,j] #坐标旋转由复数推导 unfold[2:5,4:7] = a[2:5,4:7] a = unfold[3:4,5:6] a = unfold[3:4,1:2] b = unfold[1:2,5:6] b = unfold[5:6,5:6] c = unfold[3:4,3:4] c = unfold[3:4,7:8] list = list(a,a,b,b,c,c,unfold) list }#对b（橙色面）逆时针旋转90度；此时list应该是b面为俯视面的形式f <- function(list){ unfold = xup(list[[3]],list[[4]],list[[2]], list[[1]],list[[5]],list[[6]]) a = matrix(rep(0,48),6)for(i in 2:5)for(j in 4:7)a[9-j,2 i] = unfold[i,j] #坐标旋转由复数推导 unfold[2:5,4:7] = a[2:5,4:7] b = unfold[3:4,5:6] b = unfold[3:4,1:2] a = unfold[1:2,5:6] a = unfold[5:6,5:6] c = unfold[3:4,3:4] c = unfold[3:4,7:8] list = list(a,a,b,b,c,c,unfold) list }#f的逆变换,此时list应该是b面为俯视面的形式e <- function(list){ unfold = xup(list[[3]],list[[4]],list[[2]], list[[1]],list[[5]],list[[6]]) a = matrix(rep(0,48),6)for(i in 2:5)for(j in 4:7)a[j-2,9-i] = unfold[i,j] #坐标旋转由复数推导 unfold[2:5,4:7] = a[2:5,4:7] b = unfold[3:4,5:6] b = unfold[3:4,1:2] a = unfold[1:2,5:6] a = unfold[5:6,5:6] c = unfold[3:4,3:4] c = unfold[3:4,7:8] list = list(a,a,b,b,c,c,unfold) list }#对c（黄色面）逆时针旋转90度;此时list应该是c面为俯视面的形式r <- function(list){ unfold = xup(list[[5]],list[[6]],list[[3]], list[[4]],list[[2]],list[[1]]) a = matrix(rep(0,48),6)for(i in 2:5)for(j in 4:7)a[9-j,2 i] = unfold[i,j] #坐标旋转由复数推导 unfold[2:5,4:7] = a[2:5,4:7] c = unfold[3:4,5:6] c = unfold[3:4,1:2] b = unfold[1:2,5:6] b = unfold[5:6,5:6] a = unfold[3:4,7:8] a = unfold[3:4,3:4] list = list(a,a,b,b,c,c,unfold) list }#r的逆变换,此时list应该是c面为俯视面的形式k <- function(list){ unfold = xup(list[[5]],list[[6]],list[[3]], list[[4]],list[[2]],list[[1]]) a = matrix(rep(0,48),6)for(i in 2:5)for(j in 4:7)a[j-2,9-i] = unfold[i,j] #坐标旋转由复数推导 unfold[2:5,4:7] = a[2:5,4:7] c = unfold[3:4,5:6] c = unfold[3:4,1:2] b = unfold[1:2,5:6] b = unfold[5:6,5:6] a = unfold[3:4,3:4] a = unfold[3:4,7:8] list = list(a,a,b,b,c,c,unfold) list }#魔方的变换transform <- function(cha) #输入由u/v/f/e/r/k构成的字符串{ cha = unlist(strsplit(cha,split=””)) #将字符串的字母逐个拆开for(i in cha) {if(i==”u”){cube = u(cube)}if(i==”v”){cube = v(cube)}if(i==”f”){cube = f(abup(cube)); cube = baup(cube)}if(i==”e”){cube = e(abup(cube)); cube = baup(cube)}if(i==”r”){cube = r(acup(cube)); cube = caup(cube)}if(i==”k”){cube = k(acup(cube)); cube = caup(cube)} draw(cube[[7]]) sys.sleep(0.2) } cube[[7]]}transform(rep(“rve”,30))